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By Bernard Le Stum

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Précis d'électricité: L'essentiel du cours. Exercices corrigés

Cet ouvrage suggest un cours d'électricité de niveau L1/L2. Le cours, concis, clair et pédagogique, est ponctué de rubriques "En bref" qui signalent les notions importantes à retenir. Dans chaque chapitre, de nombreux exercices basés sur des situations concrètes permettent de se préparer aux épreuves.

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Example text

Si f est surjective, on a rg(g ◦ f ) = rg(g) et si g est injective, on a rg(g ◦ f ) = rg(f ). Démonstration : On sait que si f est surjective, on a Im(g ◦ f ) = Im(g) et la première assertion en découle. De même, si g est injective, on utilise le théorème du rang et le fait que ker(g ◦ f ) = ker(f ). On utilisera ce résultat essentiellement pour des applications linéaires bijectives. 4 Soit A ∈ Mn×m (K). Si P ∈ GLn (K), alors rg(P A) = rg(A). De même, si Q ∈ GLm (K), alors rg(AQ) = rg(A). Démonstration : On écrit A comme la matrice d’une application f et P comme la matrice d’une application ϕ (dans la base canonique).

Et on peut facilement voir que tout v ∈ E s’écrit comme somme d’un élément de H et d’un élément de D : v = (v − f (v) f (v) u) + u. f (u) f (u) Réciproquement, si E = H ⊕ D, alors H est le noyau de l’application composée de la projection sur D et d’un isomorphisme quelconque entre D et K. C’est donc bien un hyperplan. 1 (Théorème du rang) Si f : E → F est une application linéaire, alors dim E = dim ker f + dim im f. Démonstration : Si dim ker f = ∞, l’égalité est claire. Sinon, on choisit une base (u1 , .

Forment une base de F ) si et seulement si f est injective, (resp. surjective, resp. bijective). Démonstration : On se donne donc une base (u1 , . . , un ) de E et v1 , . . , vn ∈ F. Soit f : E → F une application linéaire telle que f (u1 ) = v1 , . . , f (un ) = vn . B04 – Version du December 2, 2008 45 Tout u ∈ E s’écrit de manière unique u =: λ1 u1 + · · · + λn un et on a donc f (u) = λ1 v1 + · · · + λn vn . D’où l’unicité. Réciproquement, on peut toujours définir f comme ceci et vérifier qu’elle est bien linéaire : En effet, si on a aussi u =: λ1 u1 + · · · + λn un et µ, µ ∈ K, on doit vérifier que f (µu + µ u ) = µf (u) + µ f (u ).

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